Una inversión básica es aquella en la que comienza con un capital inicial, invertido a una tasa anual compuesta, y agrega contribuciones cada año. Vamos a suponer que el saldo de la cuenta de cualquier año en particular incluye el crecimiento de los intereses del año pasado, pero aún no incluye la nueva contribución. (Esta es la forma en que la mayoría de la gente lo hace, pero a veces verá un ejemplo que asume un método diferente; que no estarán de acuerdo con nuestra fórmula para el equivalente de un año de interés de contribución).
Escribiremos C para la contribución anual; y para mantener las cosas más limpias, escribiremos "z" para (1+r). Ahora comenzamos a notar el saldo de la cuenta durante los primeros años:
Año Balance
Ahora P
1 (P + c) z
2 ((P + c) z + c) z
En otras palabras, para pasar del saldo de un año al siguiente, suma la contribución c, luego multiplicas por z para obtener el interés.
Si multiplica estros términos, comenzara a ver el siguiente patrón:
Año Balance
Ahora P
1 Pz + cz
2 Pz2 + c(z + z2)
Y PzY + c(z + z2 + . . . + zY)
La segunda parte de esa línea es solo c veces la suma de una serie geométrica. Entonces puedes reducir todo a:
Balance(n) = PzY + c[(zY + 1 - z)/(z - 1)]
Finalmente, escribe z en términos de r, para obtener la fórmula que buscamos.
Balance(Y) = P(1 + r)Y + c[ ((1 + r)Y + 1 - (1 + r)) / r ]
Problemas de tiempo.
La fórmula anterior asume que las contribuciones ocurren al comienzo de cada año. Si desea que suceda al final, obtiene un periodo de interés menos por contribución:
Año Balance
Ahora P
1 Pz + c
2 Pz2 + c(1 + z)
3 PzY + c(1 + z + z2 + . . . + zY-1)
Y la fórmula se convierte en.
Balance(Y) = P(1 + r)Y + c[ ((1 + r)Y - 1) / r ]
